因为题目说的是f(0),f(1),f(2),所以是从[0,2]上找出一点，介值就是介于0和而且这道题里面已经告诉你f(3)=1,明显要用罗尔中值定理，所以要找到与x=3相异的点使这点的函数值也等于一，所以在[0,2]上令F(x)=f(x)在a到x上的积分，G(x)=g(x)在a到x上的积分，由柯西介值定理（有的翻译为哥西中值定理）一步即出。令H(x)=F(x)G(b)-G(x)F(b)，并注意到F(a)=G(a)=0，可证明H(a)=H(b)=0。
导数介值定理又叫做中值定理。若函数f(x)在(a,b)内可导，α,β∈(a,b),且α<β,且f(α)<f(β),则对于任意的k∈(f′(α),f′(β)),必定存在ξ∈(α,β),使得f′(ξ)=k.中间值定理设函数f(x)在闭若g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。
柯西中值定理f(x) g(x)连续可导，gx导数不为0 既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果设g(x)=x 则g(b)=b g(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以说拉格朗日是柯西的特殊情况(g(x)=x)罗尔是拉格朗日张宇说的高数必背八大定理指：零点定理、最值定理、介值定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理。举例介绍：零点定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即。
高等数学定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。有界性|f(x)|≤K 最值定理m≤f(x)≤M 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的。
由介值定理存在ζ∈(χ,b)，使F(ζ)=F(a)。又由罗尔中值定理，存在ξ∈(a,ζ)，使F'(ξ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使F'(x)=0即f'(x)=k。导函数的零点定理：其实和达布定理是等价的，可以等同..一般来说，有"在( a , b )内有一点使得"字眼的题目都可能用三大介值定理(通常是零介值定理)微分中值定理(罗尔，拉格朗日，柯西)积分中值定理如果出现=0，先考虑介值定理不可以的话再看目标等式有没。
如，先用介值定理，再用罗尔定理如，先用介值定理，再用罗尔定理费马定理中值定理。拉格朗日中值定理，是罗尔中值定理的推广，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x。